- Ортогональная группа
-
Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму на (то есть таких линейных преобразований , что для любого ).
Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ) преобразованиями , а также автоморфизмами формы (точнее, автоморфизмами пространства относительно формы ).
- Обозначается , , и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( плюсов, минусов) где , обозначается O(,), см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае если характеристика основного поля больше двух, то с связана невырожденная симметрическая билинейная форма на , определенная формулой
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства , которые сохраняют , и обозначается через или (когда ясно о каком поле и форме идёт речь) просто через .
- Если — матрица формы в неком базисе пространства , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц с коэффициентами в , что
- В частности, если базис таков, что является суммой квадратов координат (то есть, матрица единична), то такие матрицы называются ортогональными.
- Над полем действительных чисел, группа компактна тогда и только тогда, когда форма знакоопределена.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу , обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы .
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Группы Ли
Wikimedia Foundation. 2010.